Część 1 - pochodne cząstkowe

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji f(x) zapisujemy jako f'(x) lub \frac{df}{dx}. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy f(x) = x^2, \frac{df}{dx} = 2x.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję f(x,y) = x^2 + y^2, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

Ten problem załatwia właśnie pochodna cząstkowa. Pochodną cząstkową można policzyć względem którejkolwiek ze zmiennych, w tym wypadku możliwe są zatem dwie: \frac{\partial f}{\partial x} oraz \frac{\partial f}{\partial y} (dla uproszczenia zapisuje się to czasem jako f_{,x} i f_{,y} lub \partial_x f i \partial_y f). Pochodną cząstkową liczy się w ten sposób, że jedynie zmienną po której różniczkujemy traktujemy jako zmienną, a wszystkie pozostałe jak stałe.

Żeby zaprezentować, na czym to polega, wykorzystamy funkcję liniową f(x) = ax, gdzie a jest pewną stałą. Pochodna tej funkcji to f'(x) = a. Gdyby a od początku było zmienną - to właśnie byłaby pochodna cząstkowa po x! Mając funkcję f(a,x) = ax i traktując a jak stałą, otrzymujemy dokładnie opisaną sytuację. Zatem \frac{\partial f(a,x)}{\partial x} = a. Gdybyśmy trochę zmienili oznaczenia i zamiast a napisali y, otrzymalibyśmy:
f(x, y) = xy
\frac{\partial f}{\partial x} = y

Z drugiej strony, możemy x potraktować jak stałą, a y jak zmienną i obliczyć \frac{\partial f}{\partial y} - sprawa jest dokładnie analogiczna i w tym przypadku otrzymujemy x.

Wróćmy do naszej początkowej funkcji, kwadratu odległości. Licząc \partial_x f przyjmujemy y za stałą - co oznacza, że cały kawałek y^2 jest stały i przy różniczkowaniu zniknie. Musimy zatem obliczyć jedynie pochodną x^2, co daje nam, że \partial_x f = 2x. I już.

A co z pochodną po y? To samo, tylko teraz to x^2 jest stałe i otrzymujemy w efekcie \partial_y f = 2y.

W przypadku pochodnych cząstkowych, tak jak w przypadku zwykłych pochodnych, możliwe są pochodne wyższego rzędu (druga pochodna, trzecia pochodna itp.). Liczy się je dokładnie tak samo, jak w przypadku zwykłych - różniczkując funkcję, następnie znów różniczkując wynik itd. Jedyna różnica jest taka, że w przypadku pochodnych cząstkowych, możliwych pochodnych wyższego rzędu jest więcej. Powód jest prosty - za każdym razem możemy różniczkować po jednej z wielu zmiennych.

Powiedzmy, że mamy funkcję n zmiennych: f(x_1, x_2, ..., x_n). Możliwych pierwszych pochodnych mamy n: \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ... , \frac{\partial f}{\partial x_n}.

Drugich pochodnych mamy już n^2: \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}, ..., \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}, ..., \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}.

Trzecich pochodnych byłoby n^3, itd.

Nie jest to jednak do końca prawda. Nie wszystkie wymienione pochodne są różne. Okazuje się, że różniczkowanie względem różnych zmiennych jest przemienne, tzn. nie ma znaczenia, czy najpierw zróżniczkujemy po x_i, a potem po x_j, czy na odwrót: \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}.

Jeszcze jedna rzecz, o której warto wspomnieć, to że często napisy typu \frac{\partial}{\partial x} czy \partial_x traktuje się jako samodzielne obiekty - operatory różniczkowe. Operator różniczkowy to zatem po prostu takie coś, co zastosowane do funkcji różniczkuje ją. Operatory różniczkowe możemy też "mnożyć", tworząc operatory wyższych rzędów: \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} (tu dopiero widać, skąd się bierze zapis pochodnych wyższego rzędu - czemu w "liczniku" "potęgowany" jest sam symbol pochodnej, a w "mianowniku" cały zapis typu \partial x). Można tworzyć z nich też inne rzeczy, ale o tym będzie w następnej części.

Polecam policzenie sobie pochodnych cząstkowych jakichś funkcji dla nabrania wprawy. Przykładowe funkcje:

  • f(x, y) = x \sin y
  • g(u,v) = u\left(1 - \frac{2}{v}\right)

Zadanie - obliczyć ich wszystkie pierwsze i drugie pochodne. Chętnym sprawdzę rozwiązania ;)