Artykuły

Kształt horyzontu czarnej dziury

Trafiłem wczoraj w internecie na wątek, który wydawał się typowym pytaniem kogoś zainteresowanego nauką, a okazał się całkiem ciekawym problemem.

Pytanie, które padło, dotyczyło kształtu czarnej dziury. Kilka osób odpisało, że horyzont zdarzeń (czyli granica - w pewnym sensie "powierzchnia" - czarnej dziury) ma kształt kuli (co ściślej należałoby określić jako sferę, gdyż horyzont jest tylko 2-wymiarową powierzchnią, a nie 3-wymiarową bryłą). Ktoś zasugerował, że niezupełnie, gdyż czarne dziury zwykle wirują i to je spłaszcza. Wtedy w wątek włączyłem się ja, odpisując, że nawet horyzont wirujących czarnych dziur jest sferyczny - opisuje go równanie r = const. Ale czy na pewno...?

(więcej…)

Funkcje hiperboliczne - co to za czort?

Jeśli jesteście jak ja, to pierwszy raz zetknęliście się z funkcjami hiperbolicznymi jako "tym czymś dziwnym na kalkulatorze, co nie ma żadnego zastosowania". Ot, są jakieś przyciski oznaczone "sinh" i "cosh". W szkole w końcu wyjaśnili, co oznacza "sin" i "cos", ale o tych wariantach z "h" na końcu nikt nie wspominał. O co chodzi? Nazwa sugeruje jakieś podobieństwo do funkcji trygonometrycznych, zobaczmy co wyjdzie:

 \begin{array}{ll} \cos (1) = 0.54030230586 & \cosh (1) = 1.54308063482 \\ \cos (10) = -0.83907152907 & \cosh (10) = 11013.2329201 \end{array}

(Takie wyniki otrzymacie, jeśli macie kalkulator ustawiony na radiany - jeśli jest ustawiony na stopnie, to wartości cosinusów będą inne; na funkcje hiperboliczne to ustawienie nie ma wpływu i jeszcze zobaczymy dlaczego.)

No tak, te 11 tysięcy dla cosh(10) wygląda bardzo podobnie do funkcji trygonometrycznych. Ewidentnie to "h" zmienia całkiem sporo, ale co konkretnie...?

Jeśli w dalszym toku edukacji spotkaliście się z liczbami zespolonymi, mogliście zobaczyć takie definicje:

 \begin{array}{ll} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} & \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} & \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \end{array}

Tu już widać większe podobieństwo, ale... Dlaczego taka forma? Co to ma wspólnego z hiperbolami? Jeśli jeszcze nie wiecie, to teraz się dowiecie.

(więcej…)

Szczególna Teoria Względności bez założenia o stałej prędkości światła

Wstęp

O Szczególnej Teorii Względności, jako mocno sprzeczna z intuicją wyniesioną z codziennego życia, pozostaje dla przeciętnego człowieka tematem nieco magicznym. Wnioski z niej wypływające są tak oddalone od życia, że trudno je do siebie dopuścić jako poprawny opis otaczającego nas świata.

STW poznaje się na lekcjach fizyki w liceum i jej wprowadzenie wygląda tam zwykle mniej więcej tak: pod koniec XIX wieku ludzie zdali sobie sprawę z istnienia fal elektromagnetycznych. Z równań opisujących te fale wynika pewna konkretna prędkość ich rozchodzenia się, oznaczana c i wynosząca ok. 300 000 km/s. Było to o tyle interesujące, że nie wiadomo było, względem czego ta prędkość jest określona. Ponieważ wszystkie znane fale rozchodziły się w jakichś ośrodkach, przyjęto, że także fale elektromagnetyczne posiadają swój ośrodek i nazwano go eterem, a ich prędkość dotyczy ruchu względem niego.

Kiedy już stwierdzono, że eter powinien istnieć, następnym krokiem było wykrycie go. Jednym z pomysłów na zademonstrowanie istnienia eteru było zmierzenie prędkości Ziemi względem niego. Podjęto więc takie próby, jednak nie dały one spodziewanych wyników - wyglądało na to, że Ziemia nie porusza się względem eteru. Było to nieco dziwne, zważywszy że zmienia ona swoją prędkość w ruchu dookoła Słońca, więc nawet jakby spoczywała w jednym momencie, w innym już nie powinna, tymczasem mierzona prędkość była ciągle 0. Próbowano modyfikować koncepcję eteru tak, aby wyjaśnić, czemu mogło wyjść 0 i przeprowadzać bardziej czułe eksperymenty. Jednym z nich był słynny eksperyment Michelsona-Morleya, który jednak, tak jak wcześniejsze eksperymenty, pokazał że prędkość Ziemi jest zerowa.

Naukowcy byli dość zdezorientowani tymi wynikami. Wyglądało na to, że prędkość światła względem różnych obserwatorów się nie zmienia, niezależnie od ich ruchu, co było dość bezprecedensowe. Żeby dokładniej zobrazować, co w tym dziwnego, wyobraźmy sobie, że stoimy na skrzyżowaniu w samochodzie, a przed nami stoi jeszcze jeden samochód. Gdy zapala się zielone światło, samochód przed nami rusza i rozpędza się do 15 m/s, czyli w ciągu każdej sekundy będzie się od nas oddalał o 15 m. Chwilę potem ruszamy my. Gdy rozpędzimy się do 5 m/s, spodziewamy się, że samochód przed nami będzie oddalał się od nas już tylko o 10 m co sekundę, ale gdy to sprawdzamy, ze zdumieniem odkrywamy, że nadal ucieka nam z prędkością 15 m/s. Przyspieszamy do 10 m/s - a on nadal oddala się co sekundę o 15 m. Przyspieszamy bardziej i bardziej, lecz wciąż nie możemy zacząć doganiać samochodu przed nami, mimo że nasz znajomy policjant stał z radarem na poboczu i powiedział nam, że jego prędkość to wciąż tylko 15 m/s. Otóż światło wydawało się zachowywać właśnie jak taki niecodzienny samochód.

Na początku XX wieku różni ludzie proponowali kolejne wyjaśnienia, a wśród nich Lorentz, Poincare i wreszcie Einstein. Ten ostatni w 1905 roku przedstawił opis znany dziś jako Szczególna Teoria Względności, oparty na 3 założeniach:

  1. (Czaso)przestrzeń jest jednorodna i izotropowa, tj. nie ma we Wszechświecie wyróżnionych punktów ani kierunków.
  2. Nie ma wyróżnionych układów inercjalnych, w każdym z nich prawa fizyki są takie same - to jest tzw. zasada względności Galileusza.
  3. Prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia - wniosek z eksperymentu Michelsona-Morleya.

Eter przestał być wobec tego potrzebny - od tej pory c było po prostu prędkością uniwersalną, niezależną od tego, kto ją mierzy. Przy okazji płyną z tego różne niezwykłe wnioski, takie jak wolniejszy upływ czasu u poruszających się obserwatorów czy skracanie się ciał w ruchu.

Zostaje tu jednak pewna luka - można się kłócić, i niektórzy ludzie rzeczywiście to robią, że trzecie założenie nie jest wystarczająco udowodnione. Eksperyment Michelsona-Morleya mógł być za mało dokładny lub mógł dać zerowy wynik w pewnych szczególnych okolicznościach, mimo że prędkość światła nie jest stała. Stąd STW może być (a wg niektórych po prostu jest) nieprawdziwa.

Wszystko to prawda, ale mało kto zdaje sobie sprawę, że to trzecie założenie wcale nie jest potrzebne do otrzymania STW. Zamierzam tutaj pokazać, jak to możliwe.

(więcej…)

Część 3 - metryka

metryka1

Wspomnieliśmy już o czymś takim, jak długość wektora, jednak nic o tym, co to właściwie jest. Na płaszczyźnie sprawa jest prosta - gdy przesuniemy się o v_x w osi x i v_y w osi y, odległość między punktami początkowym i końcowym wynosi \sqrt{v_x^2 + v_y^2} (co można zobaczyć, rysując trójkąt prostokątny i korzystając z twierdzenia Pitagorasa - patrz rysunek). Nie zawsze jednak musi to tak wyglądać i tu wkracza metryka.

Metryka to sposób na uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Nie zawsze współrzędne odpowiadają odległościom wzdłuż prostopadłych osi i nie zawsze da się utworzyć takie współrzędne (ale nie uprzedzajmy faktów). Chcemy zatem mieć jakiś sposób liczenia odległości między punktami przesuniętymi o \Delta x^\mu, gdy x^\mu to współrzędne określone w jakiś bliżej niesprecyzowany sposób.

(więcej…)

Część 2 - współrzędne, wektory i konwencja sumacyjna

Podstawowym obiektem w OTW jest czasoprzestrzeń. Jako obiekt matematyczny formalnie jest to rozmaitość różniczkowa, ale na nasze potrzeby wystarczy fakt, że jest to pewien zbiór punktów, zwanych zdarzeniami, które można opisywać współrzędnymi. W przypadku OTW czasoprzestrzeń jest 4-wymiarowa, co oznacza, że potrzebne są 4 współrzędne - jedna czasowa i trzy przestrzenne.

Współrzędne można nazywać w zasadzie dowolnie (np. x, y, z, t), ale ponieważ wielokrotnie potrzebne będzie odwoływanie się do całej czwórki współrzędnych naraz, wygodnie jest oznaczyć je numerami. Przyjęło się oznaczać współrzędną czasową jako 0, a pozostałe 1, 2, 3. Współrzędną nr \mu będziemy zapisywać tak: x^\mu (uwaga: w tym przypadku to nie jest potęgowanie!). \mu w tym przypadku nazywane jest indeksem lub wskaźnikiem (tutaj: górnym). Konwencjonalnie, kiedy mamy na myśli jedną ze wszystkich 4 współrzędnych, używamy litery greckiej; jeśli chodzi o którąś ze współrzędnych przestrzennych, używamy liter łacińskich.

(więcej…)

Część 1 - pochodne cząstkowe

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji f(x) zapisujemy jako f'(x) lub \frac{df}{dx}. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy f(x) = x^2, \frac{df}{dx} = 2x.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję f(x,y) = x^2 + y^2, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

(więcej…)

Matematyka czarnych dziur

Temat grawitacji jest standardowo omawiany w szkole. Mówi się o tym, że ciała się przyciągają, podaje się wzór Newtona i to właściwie tyle. Jeśli wspomina się o tym, że to zaledwie spore uproszczenie naszej wiedzy na ten temat, to jedynie mimochodem. Istnienie czegoś takiego jak Ogólna Teoria Względności jedynie się sygnalizuje - i nie bez powodu. Pełne zrozumienie matematyki, która za nią stoi, wymaga lat studiowania fizyki i nie jest możliwe do osiągnięcia przez uczniów gimnazjum czy liceum.

Jako osobę ciekawą świata zawsze zastanawiało mnie, jak ta matematyka właściwie wygląda i co jest w niej takiego trudnego. Było to w istocie jednym z głównych powodów, które popchnęły mnie do studiowania fizyki. Fascynowało mnie, co to właściwie jest ta krzywizna czasoprzestrzeni i jak się ją opisuje. Jeśli Ciebie również interesuje ten temat - jesteś we właściwym miejscu.

Myśląc ostatnio nad tym tematem, doszedłem do wniosku, że powinno dać się opisać podstawy Ogólnej Teorii Względności używając matematyki będącej w zasięgu ucznia liceum. Zamierzam wobec tego stworzyć tu cykl artykułów, w których objaśnię pojęcia matematyczne, którymi OTW operuję, oraz pokażę jak je zastosować do opisu grawitacji - wszystko przy założeniu, że najbardziej zaawansowanym pojęciem znanym Czytelnikowi jest pochodna funkcji. Jeśli uda mi się zrealizować cel, zobaczymy w jaki sposób krzywizna czasoprzestrzeni przejawia się jako siła przyciągania, jak czarne dziury zmieniają upływ czasu i czemu nie da się wylecieć z ich wnętrza.

Zapraszam zatem do lektury :) Wszelkie uwagi w komentarzach jak zawsze będą mile widziane.