Ciekawostki naukowe

Kształt horyzontu czarnej dziury

Trafiłem wczoraj w internecie na wątek, który wydawał się typowym pytaniem kogoś zainteresowanego nauką, a okazał się całkiem ciekawym problemem.

Pytanie, które padło, dotyczyło kształtu czarnej dziury. Kilka osób odpisało, że horyzont zdarzeń (czyli granica - w pewnym sensie "powierzchnia" - czarnej dziury) ma kształt kuli (co ściślej należałoby określić jako sferę, gdyż horyzont jest tylko 2-wymiarową powierzchnią, a nie 3-wymiarową bryłą). Ktoś zasugerował, że niezupełnie, gdyż czarne dziury zwykle wirują i to je spłaszcza. Wtedy w wątek włączyłem się ja, odpisując, że nawet horyzont wirujących czarnych dziur jest sferyczny - opisuje go równanie r = const. Ale czy na pewno...?

(więcej…)

Funkcje hiperboliczne - co to za czort?

Jeśli jesteście jak ja, to pierwszy raz zetknęliście się z funkcjami hiperbolicznymi jako "tym czymś dziwnym na kalkulatorze, co nie ma żadnego zastosowania". Ot, są jakieś przyciski oznaczone "sinh" i "cosh". W szkole w końcu wyjaśnili, co oznacza "sin" i "cos", ale o tych wariantach z "h" na końcu nikt nie wspominał. O co chodzi? Nazwa sugeruje jakieś podobieństwo do funkcji trygonometrycznych, zobaczmy co wyjdzie:

 \begin{array}{ll} \cos (1) = 0.54030230586 & \cosh (1) = 1.54308063482 \\ \cos (10) = -0.83907152907 & \cosh (10) = 11013.2329201 \end{array}

(Takie wyniki otrzymacie, jeśli macie kalkulator ustawiony na radiany - jeśli jest ustawiony na stopnie, to wartości cosinusów będą inne; na funkcje hiperboliczne to ustawienie nie ma wpływu i jeszcze zobaczymy dlaczego.)

No tak, te 11 tysięcy dla cosh(10) wygląda bardzo podobnie do funkcji trygonometrycznych. Ewidentnie to "h" zmienia całkiem sporo, ale co konkretnie...?

Jeśli w dalszym toku edukacji spotkaliście się z liczbami zespolonymi, mogliście zobaczyć takie definicje:

 \begin{array}{ll} \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} & \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} & \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \end{array}

Tu już widać większe podobieństwo, ale... Dlaczego taka forma? Co to ma wspólnego z hiperbolami? Jeśli jeszcze nie wiecie, to teraz się dowiecie.

(więcej…)