Teoria względności

Część 3 - metryka

metryka1

Wspomnieliśmy już o czymś takim, jak długość wektora, jednak nic o tym, co to właściwie jest. Na płaszczyźnie sprawa jest prosta - gdy przesuniemy się o v_x w osi x i v_y w osi y, odległość między punktami początkowym i końcowym wynosi \sqrt{v_x^2 + v_y^2} (co można zobaczyć, rysując trójkąt prostokątny i korzystając z twierdzenia Pitagorasa - patrz rysunek). Nie zawsze jednak musi to tak wyglądać i tu wkracza metryka.

Metryka to sposób na uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. Nie zawsze współrzędne odpowiadają odległościom wzdłuż prostopadłych osi i nie zawsze da się utworzyć takie współrzędne (ale nie uprzedzajmy faktów). Chcemy zatem mieć jakiś sposób liczenia odległości między punktami przesuniętymi o \Delta x^\mu, gdy x^\mu to współrzędne określone w jakiś bliżej niesprecyzowany sposób.

(więcej…)

Część 2 - współrzędne, wektory i konwencja sumacyjna

Podstawowym obiektem w OTW jest czasoprzestrzeń. Jako obiekt matematyczny formalnie jest to rozmaitość różniczkowa, ale na nasze potrzeby wystarczy fakt, że jest to pewien zbiór punktów, zwanych zdarzeniami, które można opisywać współrzędnymi. W przypadku OTW czasoprzestrzeń jest 4-wymiarowa, co oznacza, że potrzebne są 4 współrzędne - jedna czasowa i trzy przestrzenne.

Współrzędne można nazywać w zasadzie dowolnie (np. x, y, z, t), ale ponieważ wielokrotnie potrzebne będzie odwoływanie się do całej czwórki współrzędnych naraz, wygodnie jest oznaczyć je numerami. Przyjęło się oznaczać współrzędną czasową jako 0, a pozostałe 1, 2, 3. Współrzędną nr \mu będziemy zapisywać tak: x^\mu (uwaga: w tym przypadku to nie jest potęgowanie!). \mu w tym przypadku nazywane jest indeksem lub wskaźnikiem (tutaj: górnym). Konwencjonalnie, kiedy mamy na myśli jedną ze wszystkich 4 współrzędnych, używamy litery greckiej; jeśli chodzi o którąś ze współrzędnych przestrzennych, używamy liter łacińskich.

(więcej…)

Część 1 - pochodne cząstkowe

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji f(x) zapisujemy jako f'(x) lub \frac{df}{dx}. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy f(x) = x^2, \frac{df}{dx} = 2x.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję f(x,y) = x^2 + y^2, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

(więcej…)

Matematyka czarnych dziur

Temat grawitacji jest standardowo omawiany w szkole. Mówi się o tym, że ciała się przyciągają, podaje się wzór Newtona i to właściwie tyle. Jeśli wspomina się o tym, że to zaledwie spore uproszczenie naszej wiedzy na ten temat, to jedynie mimochodem. Istnienie czegoś takiego jak Ogólna Teoria Względności jedynie się sygnalizuje - i nie bez powodu. Pełne zrozumienie matematyki, która za nią stoi, wymaga lat studiowania fizyki i nie jest możliwe do osiągnięcia przez uczniów gimnazjum czy liceum.

Jako osobę ciekawą świata zawsze zastanawiało mnie, jak ta matematyka właściwie wygląda i co jest w niej takiego trudnego. Było to w istocie jednym z głównych powodów, które popchnęły mnie do studiowania fizyki. Fascynowało mnie, co to właściwie jest ta krzywizna czasoprzestrzeni i jak się ją opisuje. Jeśli Ciebie również interesuje ten temat - jesteś we właściwym miejscu.

Myśląc ostatnio nad tym tematem, doszedłem do wniosku, że powinno dać się opisać podstawy Ogólnej Teorii Względności używając matematyki będącej w zasięgu ucznia liceum. Zamierzam wobec tego stworzyć tu cykl artykułów, w których objaśnię pojęcia matematyczne, którymi OTW operuję, oraz pokażę jak je zastosować do opisu grawitacji - wszystko przy założeniu, że najbardziej zaawansowanym pojęciem znanym Czytelnikowi jest pochodna funkcji. Jeśli uda mi się zrealizować cel, zobaczymy w jaki sposób krzywizna czasoprzestrzeni przejawia się jako siła przyciągania, jak czarne dziury zmieniają upływ czasu i czemu nie da się wylecieć z ich wnętrza.

Zapraszam zatem do lektury :) Wszelkie uwagi w komentarzach jak zawsze będą mile widziane.