Część 2 - współrzędne, wektory i konwencja sumacyjna

Podstawowym obiektem w OTW jest czasoprzestrzeń. Jako obiekt matematyczny formalnie jest to rozmaitość różniczkowa, ale na nasze potrzeby wystarczy fakt, że jest to pewien zbiór punktów, zwanych zdarzeniami, które można opisywać współrzędnymi. W przypadku OTW czasoprzestrzeń jest 4-wymiarowa, co oznacza, że potrzebne są 4 współrzędne - jedna czasowa i trzy przestrzenne.

Współrzędne można nazywać w zasadzie dowolnie (np. x, y, z, t), ale ponieważ wielokrotnie potrzebne będzie odwoływanie się do całej czwórki współrzędnych naraz, wygodnie jest oznaczyć je numerami. Przyjęło się oznaczać współrzędną czasową jako 0, a pozostałe 1, 2, 3. Współrzędną nr \mu będziemy zapisywać tak: x^\mu (uwaga: w tym przypadku to nie jest potęgowanie!). \mu w tym przypadku nazywane jest indeksem lub wskaźnikiem (tutaj: górnym). Konwencjonalnie, kiedy mamy na myśli jedną ze wszystkich 4 współrzędnych, używamy litery greckiej; jeśli chodzi o którąś ze współrzędnych przestrzennych, używamy liter łacińskich.

(więcej…)

Nowa kategoria - artykuły

Doszedłem do wniosku, że skoro już mam swój blog, to mogę go wykorzystać też do jednego z moich ulubionych zajęć - przekazywania wiedzy. Na pierwszy ogień poszedł mój ulubiony temat, czyli teoria względności i czarne dziury. Dziedzina ta uchodzi za matematycznie bardzo złożoną, i nie bez powodu, jednak ogólny obraz jest moim zdaniem do ogarnięcia przez osobę z licealnym wykształceniem (przy założeniu, oczywiście, że będzie zainteresowana zrozumieniem tematu).

Zacząłem więc cykl artykułów, mający na celu przybliżenie Czytelnikom tej fascynującej tematyki. Czy mi to wychodzi - przekonajcie się sami :)

Część 1 - pochodne cząstkowe

Jak wspomniałem we wstępie, zakładam, że Czytelnik zna pojęcie pochodnej funkcji. Jest to dobra podstawa, ale żeby wgłębić się w teorię względności, potrzebujemy to pojęcie nieco rozszerzyć. Zapoznamy się zatem z pochodną cząstkową. Cóż to takiego?

Przypomnijmy sobie najpierw zwykłą pochodną. Pochodną funkcji f(x) zapisujemy jako f'(x) lub \frac{df}{dx}. Oznacza ona, łopatologicznie mówiąc, tempo zmiany funkcji f w miarę zmieniania argumentu x. Przykładowo, gdy f(x) = x^2, \frac{df}{dx} = 2x.

Co jednak, gdy funkcja zależy od więcej niż jednej zmiennej? Np. możemy mieć funkcję f(x,y) = x^2 + y^2, która każdemu punktowi płaszczyzny przypisze kwadrat jego odległości od początku układu współrzędnych. Jak w ogóle określić pochodną takiej funkcji?

(więcej…)

Matematyka czarnych dziur

Temat grawitacji jest standardowo omawiany w szkole. Mówi się o tym, że ciała się przyciągają, podaje się wzór Newtona i to właściwie tyle. Jeśli wspomina się o tym, że to zaledwie spore uproszczenie naszej wiedzy na ten temat, to jedynie mimochodem. Istnienie czegoś takiego jak Ogólna Teoria Względności jedynie się sygnalizuje - i nie bez powodu. Pełne zrozumienie matematyki, która za nią stoi, wymaga lat studiowania fizyki i nie jest możliwe do osiągnięcia przez uczniów gimnazjum czy liceum.

Jako osobę ciekawą świata zawsze zastanawiało mnie, jak ta matematyka właściwie wygląda i co jest w niej takiego trudnego. Było to w istocie jednym z głównych powodów, które popchnęły mnie do studiowania fizyki. Fascynowało mnie, co to właściwie jest ta krzywizna czasoprzestrzeni i jak się ją opisuje. Jeśli Ciebie również interesuje ten temat - jesteś we właściwym miejscu.

Myśląc ostatnio nad tym tematem, doszedłem do wniosku, że powinno dać się opisać podstawy Ogólnej Teorii Względności używając matematyki będącej w zasięgu ucznia liceum. Zamierzam wobec tego stworzyć tu cykl artykułów, w których objaśnię pojęcia matematyczne, którymi OTW operuję, oraz pokażę jak je zastosować do opisu grawitacji - wszystko przy założeniu, że najbardziej zaawansowanym pojęciem znanym Czytelnikowi jest pochodna funkcji. Jeśli uda mi się zrealizować cel, zobaczymy w jaki sposób krzywizna czasoprzestrzeni przejawia się jako siła przyciągania, jak czarne dziury zmieniają upływ czasu i czemu nie da się wylecieć z ich wnętrza.

Zapraszam zatem do lektury :) Wszelkie uwagi w komentarzach jak zawsze będą mile widziane.

Rozwój strony

Strona zaczyna osiągać stan, w którym nadaje się do pokazania komuś, zatem jeśli to czytasz, najwyraźniej już się na to zdecydowałem :)

Oprócz dwóch artykułów o projekcie dotyczącym generowania wszechświata, dodałem listę swoich projektów i zaczynam tworzyć ich opisy. Póki co opisałem symulator czarnej dziury i zastanawiam się, czy dodać w tym opisie część matematyczną (komentarze w tej kwestii będą mile widziane). Opisy pozostałych projektów dodam w najbliższych dniach.

Generowanie struktury wszechświata

Struktura przestrzeni

Tworzenie wszechświata trzeba od czegoś zacząć. Dobrym początkiem będzie określenie jego kształtu.

Najwygodniejszym i chyba najbardziej oczywistym kształtem jest sześcian. Wówczas każda z trzech współrzędnych będzie liczbą z tego samego zakresu, a dodatkowo bardzo łatwo jest sprawić, aby wszechświat nie miał granic - wystarczy dodać warunek, że opuszczenie sześcianu z jednej strony jest równoznaczne z wejściem do sześcianu z drugiej strony. Przypomina to sytuację znaną z gry w węża, w której wąż opuszczający ekran z prawej strony wracał znowu z lewej - tylko w trzech wymiarach.

Mamy zatem sześcienną przestrzeń, w której każdy punkt może być opisany trzema liczbami: x,\; y,\; z\; \in (a,b). Pojawia się pytanie: jakiego typu danych użyć do reprezentowania współrzędnych punktu? Nie uda się na nie odpowiedzieć bez wcześniejszego sprawdzenia, z jak dużymi liczbami mamy do czynienia.
(więcej…)

Projekt Universe

Projekt, który tymczasowo nazywam po prostu "Universe" (lepsza nazwa by się przydała, ale nie jest priorytetem), ma na celu stworzenie interaktywnego wszechświata w realistycznej skali - tj., zawierającego miliardy galaktyk, złożonych z miliardów gwiazd, z których część ma planety, część tworzy układy wielokrotne itd., itp.

Inspiracja pochodzi z kilku źródeł:

  • Space Engine - program pozwalający na zwiedzanie realistycznego Wszechświata
  • Minecraft - gra dająca niemal nieograniczone możliwości budowania i interakcji ze światem
  • Wurm Online - gra w pewnych aspektach podobna do Minecrafta, dająca również ogromne możliwości kształtowania świata

W skrócie - celem byłoby osiągnięcie możliwości interakcji ze światem podobnych do tych z Minecrafta lub Wurma, lecz we wszechświecie o skali Space Engine.

Oczywiście, skala przedsięwzięcia jest ogromna, dlatego projekt będzie zapewne ciągnął się latami i jego ukończenie stoi pod znakiem zapytania. Zamierzam jednak małymi kroczkami popychać go do przodu, aż może kiedyś nabierze interesującego kształtu, a postępy prac opisywać tutaj, w kategorii "Projekt Universe".